Pourquoi travailler le nombre dérivé ?

Le nombre dérivé est une notion essentielle pour comprendre le comportement local d’une fonction. Il permet de mesurer la pente de la tangente à une courbe en un point donné.

Dans cet exercice, nous allons apprendre à lire graphiquement les valeurs d’une fonction et de sa dérivée. L’objectif n’est pas seulement de compléter un tableau, mais de comprendre le lien entre la courbe, la tangente et le coefficient directeur.

Exercice 1 — Nombre dérivé

À l’aide de la représentation graphique d’une fonction f, compléter le tableau suivant.

Rappel de cours : qu’est-ce qu’un nombre dérivé ?

Le nombre dérivé d’une fonction en un point correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.

Autrement dit :

• si la tangente monte, la dérivée est positive ;
• si la tangente est horizontale, la dérivée est nulle ;
• si la tangente descend, la dérivée est négative.

Pour calculer graphiquement une dérivée, on choisit deux points appartenant à la tangente, puis on calcule son coefficient directeur :

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Comme ce coefficient directeur est celui de la tangente, on obtient :

f′(a) = m

Correction détaillée

1. Lecture de f(-3)

On lit l’ordonnée du point de la courbe dont l’abscisse est -3.

On obtient :

f(-3) = 1

2. Calcul de f′(-3)

La tangente au point d’abscisse -3 est montante. On peut lire deux points sur cette tangente, par exemple les points de coordonnées (-3 ; 1) et (-2 ; 3).

Son coefficient directeur vaut :

f′(-3) = (3 - 1) / (-2 - (-3)) = 2 / 1 = 2

Donc :

f′(-3) = 2

3. Lecture de f(-1)

Sur le graphique, le point d’abscisse -1 correspond au sommet local de la courbe.

On lit :

f(-1) = 2

4. Calcul de f′(-1)

En x = -1, la tangente est horizontale. Son coefficient directeur est donc nul.

Ainsi :

f′(-1) = 0

5. Lecture de f(3)

Pour x = 3, la lecture graphique donne :

f(3) = -2

6. Calcul de f′(3)

La tangente au point d’abscisse 3 est descendante. On peut utiliser deux points lisibles sur la tangente pour calculer sa pente.

On obtient :

f′(3) = -1

7. Lecture de f(8)

Pour x = 8, la courbe atteint l’ordonnée 1.

Donc :

f(8) = 1

Tableau complété

Méthode à retenir

1. Repérer le point de la courbe étudié.
2. Identifier la tangente en ce point.
3. Choisir deux points faciles à lire sur cette tangente.
4. Calculer le coefficient directeur.
5. Conclure que ce coefficient directeur est le nombre dérivé.

Erreurs fréquentes

Confondre la courbe et la tangente

Le nombre dérivé se lit sur la tangente, pas directement sur la courbe.

Oublier le signe

Une tangente descendante donne une dérivée négative. Une tangente montante donne une dérivée positive.

Choisir des points imprécis

Pour éviter les erreurs, il faut choisir deux points bien placés sur la grille.

Transition vers le calcul de dérivées

Nous venons de voir comment interpréter graphiquement un nombre dérivé. Dans la suite, nous allons passer au calcul algébrique des dérivées à travers plusieurs fonctions classiques : polynômes, quotients, racines carrées, produits et fonctions composées.

Exercice 2 — Calcul de dérivées

Après avoir appris à interpréter graphiquement un nombre dérivé, nous allons maintenant calculer les dérivées de plusieurs fonctions classiques. Cet exercice permet de revoir les principales règles de dérivation utilisées en Première et Terminale.

Pour chaque fonction, nous déterminerons :

• son domaine de définition ;
• son domaine de dérivabilité ;
• sa dérivée.

Fonction 1

Énoncé

Soit la fonction :

f(x) = 2x³ − 7x² + 3x − √3

Déterminer son domaine de définition, son domaine de dérivabilité et calculer sa dérivée.

Correction

Cette fonction est un polynôme. Les fonctions polynomiales sont définies et dérivables sur l'ensemble des nombres réels.

Le domaine de définition est donc :

D_f = ℝ

Le domaine de dérivabilité est également :

D_f′ = ℝ

On dérive chaque terme séparément :

• (2x³)' = 6x²
• (−7x²)' = −14x
• (3x)' = 3
• (−√3)' = 0

On obtient finalement :

f′(x) = 6x² − 14x + 3

Fonction 2

Énoncé

Soit la fonction :

f(x) = 2x + 3 − 1/x⁴

Déterminer son domaine de définition, son domaine de dérivabilité et calculer sa dérivée.

Correction

Cette fonction contient le terme 1/x⁴. La division par zéro étant impossible, la fonction n'est pas définie en x = 0.

Le domaine de définition est :

D_f = ℝ \ {0}

La fonction est dérivable sur le même ensemble.

On écrit :

1/x⁴ = x⁻⁴

Puis on applique la règle de dérivation des puissances :

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹

Ainsi :

• (2x)' = 2
• (3)' = 0
• (−x⁻⁴)' = 4x⁻⁵

On obtient :

f′(x) = 2 + 4/x⁵

Fonction 3

Énoncé

Soit la fonction :

f(x)=√(2−x)

Déterminer son domaine de définition, son domaine de dérivabilité et calculer sa dérivée.

Correction

Une racine carrée n'est définie que lorsque son contenu est positif ou nul.

Il faut donc résoudre :

2 − x ≥ 0

On obtient :

x ≤ 2

Le domaine de définition est donc :

D_f = ]−∞ ; 2]

La fonction est dérivable uniquement lorsque 2 − x est strictement positif.

Le domaine de dérivabilité est donc :

D_f′ = ]−∞ ; 2[

On applique ensuite la formule :

(√u)' = u' / (2√u)

avec :

u(x)=2−x

et :

u'(x)=−1

On obtient :

f′(x)=−1/(2√(2−x))

À retenir

Les quatre fonctions suivantes feront intervenir des quotients, des produits et des fonctions composées. Elles permettront d'aborder les principales règles de dérivation utilisées dans les exercices d'étude de fonction.

Exercice 2 — Calcul de dérivées (suite)

Nous poursuivons cette série d'exercices avec quatre nouvelles fonctions faisant intervenir les règles de dérivation des quotients, des produits et des fonctions composées.

Fonction 4

Énoncé

Soit la fonction :

f(x) = 5 / (x² − 1)

Déterminer son domaine de définition, son domaine de dérivabilité et calculer sa dérivée.

Correction

Le dénominateur ne doit jamais être nul.

On résout donc :

x² − 1 ≠ 0

soit :

(x − 1)(x + 1) ≠ 0

La fonction est définie sur :

D_f = ℝ \ {−1 ; 1}

Elle est dérivable sur ce même ensemble.

On considère ici un quotient dont le numérateur est constant.

Posons :

• u(x)=5
• v(x)=x²−1

On a :

• u′(x)=0
• v′(x)=2x

En appliquant la formule du quotient :

(u/v)' = (u'v − uv') / v²

on obtient :

f′(x)=−10x/(x²−1)

Fonction 5

Énoncé

Soit la fonction :

f(x)=2x/(x²+4)

Déterminer son domaine de définition, son domaine de dérivabilité et calculer sa dérivée.

Correction

Le dénominateur vaut :

x²+4

Comme cette quantité est toujours strictement positive, la fonction est définie sur l'ensemble des réels.

D_f=ℝ

On pose :

• u(x)=2x
• v(x)=x²+4

Les dérivées sont :

• u′(x)=2
• v′(x)=2x

En appliquant la formule du quotient :

f′(x)=(-2x²+8)/(x²+4)²

Cette forme est déjà simplifiée.

Fonction 6

Énoncé

Soit la fonction :

f(x)=(x+1)√(2x−5)

Déterminer son domaine de définition, son domaine de dérivabilité et calculer sa dérivée.

Correction

La racine carrée impose :

2x−5 ≥ 0

Donc :

x ≥ 5/2

Le domaine de définition est donc :

D_f=[5/2 ; +∞[

La fonction est dérivable sur :

]5/2 ; +∞[

Il s'agit d'un produit.

On pose :

• u(x)=x+1
• v(x)=√(2x−5)

On calcule :

• u′(x)=1
• v′(x)=1/√(2x−5)

En utilisant la formule :

(uv)' = u'v + uv'

on obtient après simplification :

f′(x)=(3x−4)/√(2x−5)

Fonction 7

Énoncé

Soit la fonction :

f(x)=(3−2x)³

Déterminer son domaine de définition, son domaine de dérivabilité et calculer sa dérivée.

Correction

Cette fonction est définie sur ℝ.

Elle est également dérivable sur ℝ.

Il s'agit d'une fonction composée.

On pose :

• u(x)=3−2x

La dérivée de la fonction extérieure est :

(u³)' = 3u²

La dérivée de la fonction intérieure vaut :

u′(x)=−2

En appliquant la règle de la dérivation des fonctions composées :

f′(x)=−6(3−2x)²

Bilan de l'exercice

À retenir

À travers ces sept fonctions, nous avons revu l'ensemble des règles de dérivation du programme de Première et de Terminale. La maîtrise de ces techniques est indispensable pour réussir les études de fonctions, construire des tableaux de variation et déterminer les équations de tangentes.

Dans la partie suivante, nous appliquerons toutes ces méthodes à une étude complète de fonction, en calculant la dérivée, en étudiant son signe, puis en construisant le tableau de variation avant de déterminer plusieurs équations de tangentes.

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction

Nous allons maintenant mettre en pratique toutes les notions étudiées précédemment. Cet exercice combine le calcul de dérivée, l'étude du signe, le tableau de variation et les équations de tangentes.

Énoncé

On considère la fonction définie par :

f(x)= (x²−4x+7)/(x−1) 

On demande de :

1. Déterminer son domaine de définition.
2. Calculer sa dérivée.
3. Étudier le signe de la dérivée.
4. Dresser le tableau de variation.
5. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 2.
6. Rechercher les tangentes parallèles à la droite y = 1/2 x − 5.

1. Domaine de définition

La fonction est une fraction rationnelle.

Le dénominateur ne doit jamais être nul.

On résout donc :

x−1 ≠ 0

Ainsi :

x ≠ 1

Le domaine de définition est donc :

D_f = ℝ \ {1}

2. Calcul de la dérivée

La fonction est un quotient. Nous utilisons donc la formule :

(u/v)'=(u'v−uv')/v²

Posons :

• u(x)=x²−4x+7
• v(x)=x−1

Les dérivées sont :

• u′(x)=2x−4
• v′(x)=1

Après développement et simplification, on obtient :

f′(x)= (x²−2x−3)/(x−1)² 

3. Étude du signe de la dérivée

Pour connaître les variations de la fonction, nous devons déterminer le signe de :

x²−2x−3

Cette expression se factorise :

(x+1)(x−3)

Les racines sont donc :

• x = −1
• x = 3

Le dénominateur étant toujours positif (car il est au carré), le signe de la dérivée dépend uniquement du numérateur.

Nous pouvons maintenant construire le tableau de variation.

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4. Tableau de variation

Nous avons obtenu le signe de la dérivée :

• f′(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ ;
• f′(x) < 0 sur ]−1 ; 1[ ;
• f′(x) < 0 sur ]1 ; 3[ ;
• f′(x) > 0 sur ]3 ; +∞[.

La fonction est donc croissante, puis décroissante, puis de nouveau croissante.

Calculons les valeurs remarquables :

f(−1) = −6

f(3) = 2

Attention : la fonction n’est pas définie en x = 1. Il faut donc séparer le tableau en deux zones : avant 1 et après 1. C’est une erreur classique dans les fonctions rationnelles.

5. Équation de la tangente au point d’abscisse 2

L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est donnée par :

y = f′(a)(x − a) + f(a)

Ici, on cherche la tangente au point d’abscisse :

a = 2

On calcule d’abord :

f(2) = 3

Puis :

f′(2) = −3

On remplace dans la formule :

y = −3(x − 2) + 3

Donc :

y = −3x + 9

L’équation de la tangente au point d’abscisse 2 est donc :

y = −3x + 9

6. Tangentes parallèles à une droite donnée

On cherche maintenant les tangentes à la courbe de f qui sont parallèles à la droite :

y = 1/2 x − 5

Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont le même coefficient directeur.

La droite donnée a pour coefficient directeur :

1/2

On doit donc résoudre :

f′(x) = 1/2

Or :

f′(x) = (x² − 2x − 3)/(x − 1)²

On résout donc :

(x² − 2x − 3)/(x − 1)² = 1/2

On multiplie par 2(x − 1)² :

2(x² − 2x − 3) = (x − 1)²

Après développement :

2x² − 4x − 6 = x² − 2x + 1

Donc :

x² − 2x − 7 = 0

On calcule le discriminant :

Δ = 32

Il y a donc deux solutions :

x₁ = 1 − 2√2

x₂ = 1 + 2√2

La courbe admet donc deux tangentes parallèles à la droite :

y = 1/2 x − 5

Ce qu’il faut retenir

Cette série d’exercices permet de réviser les compétences essentielles de l’étude de fonction :

• lire graphiquement un nombre dérivé ;
• calculer des dérivées ;
• déterminer un domaine de définition ;
• étudier le signe d’une dérivée ;
• construire un tableau de variation ;
• déterminer une équation de tangente ;
• identifier des tangentes parallèles à une droite donnée.

Le point clé à retenir est le suivant :

La dérivée permet de passer du calcul au comportement de la fonction.

Une fois la dérivée calculée, son signe permet de comprendre les variations, les extremums et les propriétés géométriques de la courbe.

Pour aller plus loin

Si vous souhaitez continuer à progresser, vous pouvez ensuite travailler :

• des exercices sur les fonctions polynomiales ;
• des exercices sur les fonctions rationnelles ;
• des exercices sur les tableaux de variation ;
• des exercices sur les équations de tangentes ;
• des exercices de préparation à la Terminale spécialité mathématiques.

Ces notions constituent une base solide pour réussir les chapitres d’analyse au lycée.