Suites en Terminale : les notions essentielles à maîtriser en spécialité mathématiques

Les suites numériques occupent une place importante en Terminale spécialité mathématiques. Elles permettent d'étudier l'évolution d'une quantité, de modéliser des phénomènes et d'introduire des raisonnements essentiels autour des limites, de la convergence et de la démonstration.

Pourtant, connaître les formules ne suffit pas.

Un élève doit aussi savoir reconnaître le type de suite étudié, choisir la bonne méthode, interpréter un résultat et construire un raisonnement rigoureux.

Des suites arithmétiques et géométriques au raisonnement par récurrence, en passant par les limites, les points fixes et le théorème des gendarmes, voici les notions fondamentales à maîtriser.

1. Comprendre ce qu'est une suite numérique

Une suite numérique peut être vue comme une succession ordonnée de nombres :

u₀, u₁, u₂, u₃, ...

Chaque nombre uₙ est appelé un terme de la suite et n représente son rang.

Une suite peut être définie :

• directement en fonction de n ;
• ou à partir du terme précédent.

Par exemple :

uₙ = 2n + 1

est une définition explicite.

Alors que :

uₙ₊₁ = uₙ + 2

est une définition par récurrence.

Avant d'aller plus loin, il faut donc savoir :

• calculer plusieurs termes ;
• identifier le mode de définition ;
• distinguer le rang n du terme uₙ ;
• observer le comportement de la suite.

Exercice d'application

On considère la suite définie par :

uₙ = 3n + 2

Calculer :

• u₀ ;
• u₁ ;
• u₅.

Corrigé

On remplace n par le rang demandé.

Pour n = 0 :

u₀ = 3 × 0 + 2 = 2

Pour n = 1 :

u₁ = 3 × 1 + 2 = 5

Pour n = 5 :

u₅ = 3 × 5 + 2 = 17

2. Les suites arithmétiques

Une suite est arithmétique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison.

On écrit :

uₙ₊₁ = uₙ + r

où r est la raison.

Si le premier terme est u₀, alors :

uₙ = u₀ + nr

Plus généralement :

uₙ = uₚ + (n − p)r

Somme des termes

Si :

Sₙ = u₀ + u₁ + ... + uₙ

alors :

Sₙ = (n + 1)(u₀ + uₙ) / 2

Exercice d'application

On considère une suite arithmétique telle que :

u₀ = 5

et :

r = 3

Calculer u₆.

Corrigé

On utilise :

uₙ = u₀ + nr

Donc :

u₆ = 5 + 6 × 3

u₆ = 23

3. Les suites géométriques

Une suite est géométrique lorsque chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un même nombre q, appelé raison.

On écrit :

uₙ₊₁ = q × uₙ

et :

uₙ = u₀ × qⁿ

Plus généralement :

uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ

Somme des termes

Pour :

Sₙ = u₀ + u₁ + ... + uₙ

avec q ≠ 1 :

Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)

Exercice d'application

Une population de bactéries double toutes les heures. On compte 200 bactéries au départ.

On a donc :

u₀ = 200

et :

q = 2

Combien de bactéries y aura-t-il après 4 heures ?

Corrigé

On utilise :

uₙ = u₀ × qⁿ

Donc :

u₄ = 200 × 2⁴

u₄ = 200 × 16

u₄ = 3200

Il y aura donc 3200 bactéries après 4 heures.

4. Étudier le sens de variation d'une suite

Une suite peut être :

• croissante ;
• décroissante ;
• constante ;
• ou ne présenter aucune de ces propriétés.

Une méthode classique consiste à étudier :

uₙ₊₁ − uₙ

Si :

uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0

alors la suite est croissante.

Si :

uₙ₊₁ − uₙ ≤ 0

elle est décroissante.

Exercice d'application

On considère :

uₙ = n² + 1

Étudier le sens de variation de la suite.

Corrigé

On calcule :

uₙ₊₁ = (n + 1)² + 1

Puis :

uₙ₊₁ − uₙ = (n + 1)² + 1 − (n² + 1)

En développant :

uₙ₊₁ − uₙ = n² + 2n + 1 − n²

Donc :

uₙ₊₁ − uₙ = 2n + 1

Pour tout n ≥ 0 :

2n + 1 > 0

La suite est donc strictement croissante.

5. Comprendre les limites de suites

En Terminale, on cherche souvent à comprendre ce que devient une suite lorsque n devient très grand.

On note :

limₙ→+∞ uₙ

Si la suite se rapproche d'une valeur réelle ℓ, on écrit :

limₙ→+∞ uₙ = ℓ

La suite est dite convergente.

Certaines suites peuvent au contraire tendre vers +∞ ou −∞, ou ne pas admettre de limite.

Exercice d'application

Déterminer la limite de :

uₙ = 1 / n

Corrigé

Lorsque n devient très grand, 1/n devient de plus en plus petit.

Donc :

limₙ→+∞ 1/n = 0

La suite converge vers 0.

6. Les limites importantes des suites géométriques

Le comportement de qⁿ dépend directement de la valeur de q.

Si :

q > 1

alors :

limₙ→+∞ qⁿ = +∞

Si :

−1 < q < 1

alors :

limₙ→+∞ qⁿ = 0

Par exemple :

limₙ→+∞ (1/2)ⁿ = 0

Attention : si q = −1, la suite alterne entre 1 et −1 et ne converge pas.

Exercice d'application

Déterminer la limite de :

uₙ = (1/3)ⁿ

Corrigé

Ici :

q = 1/3

et :

−1 < 1/3 < 1

Donc :

limₙ→+∞ (1/3)ⁿ = 0

7. Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers à partir d'un certain rang.

Il repose sur trois étapes.

Initialisation

On vérifie que la propriété est vraie au premier rang considéré.

Hérédité

On suppose que P(n) est vraie.

Puis on démontre que :

P(n) ⇒ P(n + 1)

Conclusion

On conclut que P(n) est vraie pour tout n à partir du rang initial.

Exercice d'application

On considère la suite définie par :

u₀ = 1

et :

uₙ₊₁ = uₙ + 2

Montrer par récurrence que :

uₙ = 2n + 1

pour tout n ≥ 0.

Corrigé

Initialisation

Pour n = 0 :

u₀ = 1

et :

2 × 0 + 1 = 1

La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité

Supposons :

uₙ = 2n + 1

Alors :

uₙ₊₁ = uₙ + 2

Donc :

uₙ₊₁ = 2n + 1 + 2

uₙ₊₁ = 2n + 3

Or :

2n + 3 = 2(n + 1) + 1

La propriété est donc vraie au rang n + 1.

Conclusion

Par récurrence :

uₙ = 2n + 1

pour tout n ≥ 0.

8. Suites définies par récurrence et point fixe

On considère une suite définie par :

uₙ₊₁ = f(uₙ)

Si cette suite converge vers ℓ et si f est continue, alors :

ℓ = f(ℓ)

La valeur ℓ est alors un point fixe de f.

Exercice d'application

On considère :

uₙ₊₁ = (uₙ + 3) / 2

On suppose que la suite converge vers ℓ.

Déterminer ℓ.

Corrigé

À la limite :

ℓ = (ℓ + 3) / 2

Donc :

2ℓ = ℓ + 3

Ainsi :

ℓ = 3

La seule limite possible est donc 3.

Attention : cette équation ne prouve pas à elle seule que la suite converge.

9. Le théorème des gendarmes

Supposons que :

vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ

et que :

limₙ→+∞ vₙ = ℓ

et :

limₙ→+∞ wₙ = ℓ

Alors :

limₙ→+∞ uₙ = ℓ

Exercice d'application

On considère une suite uₙ telle que :

−1/n ≤ uₙ ≤ 1/n

Montrer que uₙ converge vers 0.

Corrigé

On sait que :

limₙ→+∞ −1/n = 0

et :

limₙ→+∞ 1/n = 0

Comme :

−1/n ≤ uₙ ≤ 1/n

alors, d'après le théorème des gendarmes :

limₙ→+∞ uₙ = 0

10. Exercice de synthèse

On considère la suite définie par :

u₀ = 2

et :

uₙ₊₁ = (uₙ + 4) / 2

On admet qu'elle est croissante et majorée.

1. Montrer qu'elle converge.
2. Déterminer sa limite.

Corrigé

Comme la suite est croissante et majorée, elle est convergente.

On note ℓ sa limite.

À la limite :

ℓ = (ℓ + 4) / 2

Donc :

2ℓ = ℓ + 4

Ainsi :

ℓ = 4

La suite converge donc vers 4.

11. Les erreurs les plus fréquentes

Certaines erreurs reviennent régulièrement.

Confondre suite arithmétique et géométrique

Ajouter une constante :

suite arithmétique

Multiplier par une constante :

suite géométrique

Confondre n et uₙ

n représente le rang.

uₙ représente la valeur du terme.

Oublier le nombre de termes dans une somme

De u₀ à uₙ inclus, il y a :

n + 1 termes

Utiliser ℓ = f(ℓ) pour prétendre avoir démontré la convergence

Cette relation permet seulement de déterminer une limite possible.

Elle ne prouve pas la convergence.

Oublier l'hypothèse de récurrence

Dans l'hérédité, il faut partir explicitement de P(n) pour démontrer P(n + 1).

12. Comment progresser efficacement sur les suites ?

Une progression efficace consiste à maîtriser les notions dans cet ordre :

• calcul de termes ;
• suites arithmétiques ;
• suites géométriques ;
• sommes ;
• sens de variation ;
• limites ;
• convergence ;
• récurrence ;
• point fixe ;
• théorèmes d'encadrement.

L'objectif est de passer progressivement du calcul à la démonstration.

À retenir

Pour être à l'aise avec les suites en Terminale spécialité mathématiques, il faut maîtriser les relations fondamentales suivantes.

Suite arithmétique

uₙ₊₁ = uₙ + r

uₙ = u₀ + nr

Sₙ = (n + 1)(u₀ + uₙ) / 2

Suite géométrique

uₙ₊₁ = q × uₙ

uₙ = u₀ × qⁿ

Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)

pour q ≠ 1.

Récurrence

P(n₀) vraie

P(n) ⇒ P(n + 1)

donc P(n) vraie pour tout n ≥ n₀.

Point fixe

Si :

uₙ₊₁ = f(uₙ)

et si la suite converge vers ℓ :

ℓ = f(ℓ)

Théorème des gendarmes

Si :

vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ

et :

lim vₙ = lim wₙ = ℓ

alors :

lim uₙ = ℓ

Mais la maîtrise du chapitre ne consiste pas seulement à retenir ces formules.

L'objectif est de savoir quand les utiliser, pourquoi elles fonctionnent et comment les combiner pour construire un raisonnement rigoureux.